微分積分キャンパス・ゼミ
- 25.7 時間
- 数列と関数の極限からはじまって、2 変数関数の微分と積分までやった
- 接平面の方程式、重積分、曲面の面積出したり、これまでできなかった計算ができるようになった
- ロピタルの定理、テーラー展開とても便利
- 高校数学意外とすぐに思い出せた。昔のを思い出しつつ、新しい計算もできるようになったので自分には丁度いい 難易度だった
- 開区間と閉区間
- a <= x <= b のとき、これを閉区間と呼び、[a, b] で表す
- a < x < b のとき、これを開区間と呼び、(a, b) で表す
- ε- N 論法
- 正の数 ε をどんなに小さくしても、ある自然数 N が存在して、n が n >= N ならば |an - α| < ε となる時、lim(n -> ∞) an = α となる
- ε- N 論法は、数列 {an} が極限値 α を取ることを示す厳密な証明方法
- s.t. 〜 は「〜のような(such that)」を表す論理記号
- an > 0 (n = 1, 2, ...) の数列の無限和、すなわち無限正項級数 Σan の収束、発散について考える
- 単に正項級数とも言う
- 高校数学でも無限級数(数列の無限和)についてはすでに勉強しているが、きれいに和が求まるパターンは限られている
- ダランベールの判定法
- 正項級数の収束・発散を判定できる
- 正項級数
Σ(n=1 to ∞) an
について、lim(n -> ∞) an+1 / an = r の時(r は ∞ でも構わない)、- 1: 0 <= r < 1 ならば
Σ(n=1 to ∞) an
は収束し - 2: 1 < r ならば
Σ(n=1 to ∞) an
は発散する - ※ r = 1 の時は、収束するか発散するか、これだけでは判定できない
- 有理整関数(n 次関数)
y = a0 * x^n + a1 * x^n-1 + ... + an-1 * x + an
(n: 自然数)y = (a0 * x^n + a1 * x^n-1 + ... + an-1 * x + an) / (b0 * x^m + b1 * x^m-1 + ... + bm-1 * x + bm)
(m, n: 自然数)
- 三角関数の公式(p25)
- 偶関数と奇関数
- 偶関数 y = f(x)
- 定義: f(-x) = f(x)
- y 軸に関して対称なグラフになる
- y = cosx など
- 奇関数 y = f(x)
- 定義: f(-x) = -f(x)
- 原点に関して対称なグラフになる
- y = sinx など
- 1 対 1 対応の関数には逆関数がある
- 逆関数の求め方
- y = f(x) の x と y を入れ替え、x = f(y)
- これを y = f^-1(x) の形に変形する
- y = f(x) と y = f^-1(x) は、直線 y = x に関して対称なグラフになる
- 逆三角関数
- y = sin-1 x は逆正弦関数
- アークサイン x と読む。arcsinx と表記してもよい
- x = siny を変形したもの
- y = cos-1 x は逆余弦関数
- cos-1 x != 1/cosx なので注意
- y = tan-1 x は逆正接関数
- tan-1 x != 1/tanx なので注意
- 1/sinx = cosecx コセカント x と読む
- 1/cosx = secx セカント x と読む
- 1/tanx = cotx コタンジェント x と読む
- ネイピア数 e
lim(n -> ∞) (1 + 1/x)^x = e
となる- y = e^x は x = 0 の時の接線の傾きが 1 となる
- 参考
- 指数関数: y = a^x
- 指数関数の逆関数が対数関数
- 対数関数: y = loga x
- 底 e の対数 関数 y = loge x を自然対数関数と呼ぶ
- オイラーの公式
- e^(iθ) = cosθ + i*sinθ
- 参考
- テイラー展開
- 与えられた関数をある点の近くで多項式に近似するために用いられるもの(複雑な関数を多項式で表せる)
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + 1/2! * f''(a)(x - a)^2 + 1/3! * f'''(a)(x - a)^3 + ...
- 1 点の情報から近所のことを知れる
- マクローリン展開
- 特に a = 0 でテイラー展開する場合、マクローリン展開という
f(x) = f(0) + f'(0) * x + 1/2! * f''(0) * x^2 + 1/3! * f'''(0) * x^3 + ...
- 双曲線関数
- cosh x = (e^x + e^-x) / 2 (ハイパボリック・コサイン x と読む)
- sinh x = (e^x - e^-x) / 2 (ハイパボリック・サイン x と読む)
- tanh x = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) (ハイパボリック・タンジェント x と読む)
- 双曲線関数にも加法定理がある(p38)
- 陽関数と陰関数
- 陽関数: y = f(x) という形で表した関数
- 陰関数: F(x,y) = 0 という形で表現した関係
- 極方程式
- 平面上の曲線が、極座標 (r, θ) を用いた式 r = f(θ) または F(r, θ) = 0 で表される時、この方程式をその曲線の極方程式という
- ε-δ 論法
- ε- N 論法は連続的に値が変化する数列の極限を扱った、こちらは連続的に値が変化する関数の極限を扱う
- 1: 任意の ε > 0, ある δ > 0 s.t. x > δ => |f(x) - P| < ε この時 lim(x -> ∞) f(x) = P となる
- 2: 任意の ε > 0, ある δ > 0 s.t. x < δ => |f(x) - P| < ε この時 lim(x -> -∞) f(x) = P となる
- 3: 任意の ε > 0, ある δ > 0 s.t. 0 < |x - a| < δ => |f(x) - P| < ε この時 lim(x -> a) f(x) = P となる
- 4: 任意の ε > 0, ある δ > 0 s.t. 0 < |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε この時 lim(x -> a) f(x) = f(a) となって、f(x) は x = a で連続である
- 関数の連続性
- x = a の点とその付近で定義されている関数 y = f(x) が lim(x -> a) f(x) = f(a) を満たす時、f(x) は x = a で連続である
- 三角関数の極限公式
- lim(x -> 0) sinx / x = 1
- lim(x -> 0) tanx / x = 1
- lim(x -> 0) (1 - cosx) / x^2 = 1 / 2
- 指数・対数関数の極限公式
- lim(x -> 0) (e^x - 1) / x = 1
- lim(x -> 0) log(1 + x) / x = 1
- lim(x -> 0) (1 + x)^1/x = e
- lim(x -> 0) (1 + 1/x)^x = e
- 三角関数の和積の公式、積和の公式
- {f(x)・g(x)}' = f'(x)・g(x) + f(x)・g'(x)
- {f(x)/g(x)}' = {f'(x)・g(x) - f(x)・g'(x)} / {g'(x)}^2
- y' = dy/dx = dy/dt・dx/dt
- 最大値・最小値の定理
- 関数 f(x) が、閉区間 [a, b] で連続の時、f(x) が最大値 M をとる x と、最小値 m をとる x が、この区間内にそれぞれ少なくとも 1 つは存在する
- ロルの定理
- 関数 f(x) が、閉区間 [a, b] で連続かつ開区間 (a, b) で微分可能、さらに f(a) = f(b) である時、f'(c) = 0 (a < c < b) を満たす c が少なくとも 1 つ存在する