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# 確率統計キャンパス・ゼミ

## 概要

### 本

* [確率統計キャンパス・ゼミ 改訂6 | 馬場敬之](https://amzn.to/3lAWMCe)

### かかった時間

* 28.4 時間

### 感想

* 中心極限定理とても便利
* ポアソン過程(一定の確率で発生する事象)の間隔に注目するのが指数分布、回数に注目するのがポアソン分布
* 二項分布から正規分布への発展を理解した
* χ^2 分布、t 分布、F 分布を理解した。検定での使われ方も理解した
* 点推定と区間推定理解した
* 母平均と母分散の検定、母平均の差の検定、母分散の比の検定理解した

## 読書メモ

### 1: 離散型確率分布(1 変数確率関数)

#### 1.1: 場合の数

* 集合の定義
  * 集合とは、ある一定の条件を満たすものの集まりのこと
  * ただし、対象とするものが、その条件を満たすか否か、客観的に明らかなものの集まりでなければならない
* 各用語
  * 試行
    * 「コインを投げたり」、「サイコロを振ったり」といった、同様のことを繰り返すことが可能な行為
  * 事象
    * 試行の結果の「表が出たり」「偶数の目が出たり」する事柄
    * この事象の中でも、これ以上簡単にならない 1 つ 1 つの基本的な事象を「根元事象」と呼ぶ

#### 1.2: 確率

* 条件付き確率
  * 事象 A が起こったという条件の下で、事象 B の起こる条件付き確率は P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
  * 事象 B が起こったという条件の下で、事象 A の起こる条件付き確率は P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
* 確率の乗法定理
  * P(A∩B) = P(A)・P(B|A)
  * P(A∩B) = P(B)・P(A|B)
* ベイズの定理(p22)
  * P(A|B) = P(A)・P(B|A) / (P(A)・P(B|A) + P(A\~)・P(B|A\~))
  * ベイズの定理だと、何が原因で結果が起きたのかわからない場合に使える
    * 上の式だと P(B|A) から P(A|B) を求められる(逆順の計算ができる)
  * A を条件、B を結果と考えたときに、P(A|B) は B となった場合の A が原因である確率。これが、P(B|A) つまり A が起きた場合に B となる条件付き確率から計算できる
  * [【大学数学】ベイズの定理【確率統計】- YouTube](https://youtu.be/oUN_GhB00fU)
* 事象の独立
  * 2 つの事象 A, B が独立であるための必要十分条件は、P(A∩B) = P(A)・P(B) <=> P(B|A) = P(B) <=> P(A|B) = P(A)

#### 1.3: 離散型確率分布

* 確率変数 X
  * 確率変数 X: 全事象 U = {a, b, c, ...} の 1 つ 1 つの根元事象 a, b, c, ... に割り当てられた数値 x1, x2, x3, ... のいずれかをとる変数
* X = x1, x2, x3, ..., xn と置いた時、x1, x2, x3, ..., xn を確率変数 X の「実現値」という
* 確率関数 Pi の性質
  * 1: 0 <= Pi <= 1
  * 2: Σ(i=1->n) Pi = 1 (全確率)
  * 3: P(0 <= X <= b) = Σ(a<=xi<=b) Pi
* 分布関数 F(x)
  * 分布関数 F(x) = P(X <= x) = Σ(xi<=x) Pi (x: 連続型変数)
  * F(x) を「累積分布関数」と呼ぶこともある
* 分布関数 F(x) の性質
  * 1: a <= b の時、F(a) <= F(b)
  * 2: F(-∞) = 0, F(∞) = 1
  * 3: P(a < x <= b) = F(b) - F(a)
* 二項分布(離散型)
  * 離散型確率変数 X = 0, 1, 2, ..., n について、確率関数 Pk が Pk = P(X = k) = nCk p^k・q^n-k (k = 0, 1, ..., n, 0 < p < 1, p + q = 1) で表される確率分布を「二項分布」と呼び、B(n, p) で表す
* 期待値・分散・標準偏差
  * 離散型確率変数 X が確率関数 Pi (i = 1, 2, ..., n) の確率分布に従う時
    * 期待値: μ = E\[X] = Σ(i=1->n) xiPi = x1P1 + x2P2 + ... + xnPn
    * 分散: V\[X] = Σ(i=1->n) (xi - μ)^2・Pi = (x1 - μ)^2・P1 + (x2 - μ)^2・P2 + ... + (xn - μ)^2・Pn = E\[X^2] - E\[X]^2
    * 標準偏差: σ = (V\[X])^1/2
* k 次のモーメント
  * 原点の周りの k 次のモーメント
    * E\[X^k] = Σ(i=1->n) xi^k・Pi = x1^k・P1 + x2^k・P2 + ... + xn^k・Pn
  * μの周りの k 次のモーメント
    * E\[(X - μ)^k] = Σ(i=1->n) (xi - μ)^k・Pi = (x1 - μ)^k・P1 + (x2 - μ)^k・P2 + ... + (xn - μ)^k・Pn
  * これで見ると、期待値μは原点の周りの 1 次のモーメントであり、分散 V\[X] はμのまわりの 2 次のモーメントであるとわかる
* モーメント母関数 M(θ)
  * 離散型確率変数 X と変数θに対して、モーメント母関数 M(θ) を、M(θ) = E\[e^θX] と定義する
* 期待値・分散のモーメント母関数による表現
  * 確率変数 X の期待値と分散は以下のように表せる
    * 1: 期待値μ = E\[X] = M'(0)
    * 2: 分散 σ^2 = E\[X^2] - E\[X]^2 = M''(0) - M'(0)^2
* B(n, q) の期待値・分散
  * 二項分布 B(n, q) の期待値 μ = np, 分散 σ^2 = npq である

### 2: 連続型確率分布(1 変数確率密度)

#### 2.1: 確率密度

* 連続型確率分布と確率密度 f(x)
  * 連続型確率変数 X に対して P(a <= X <= b) = ∫(a->b) f(x) dx (a < b) となる関数 f(x) が存在するとき、f(x) を確率変数 X の「確率密度」といい、「確率変数 X は確率密度 f(x) の確率分布に従う」という
* 確率密度 f(x) の性質
  * ∫(-∞->∞) f(x) dx = 1 (全確率)
  * ∫(a->b) f(x) dx = P(a <= X <= b) = P(a < X <= b) = P(a <= X < b) = P(a < X < b)
    * x = a, x = b となる確率は 0 なので、等号はあってもなくても構わない
* 分布関数 F(x)
  * 分布関数 F(x) = P(X <= x) = ∫(-∞->x) f(t) dt
* 分布関数 F(x) の性質
  * 1: a <= b の時、F(a) <= F(b)
  * 2: F(-∞) = 0, F(∞) = 1
  * 3: P(a <= X <= b) = ∫(a->b) f(x) dx = F(b) - F(a)
* 期待値・分散・標準偏差
  * 連続型確率変数 X が確率密度 f(x) の確率分布に従う時、以下のように表せる
    * 期待値: μ = E\[X] = ∫(-∞->∞) xf(x) dx
    * 分散: σ^2 = V\[X] = ∫(-∞->∞) (x - μ)^2・f(x) dx = E\[X^2] - E\[X]^2
    * 標準偏差: σ = (V\[X])^1/2

#### 2.2: モーメント母関数と変数変換

* モーメント母関数 M(θ)
  * 確率密度 f(x) を持つ連続型確率変数 X と変数θに対して、モーメント母関数 M(θ) を、M(θ) = E\[e^θX] = ∫(-∞->∞) (e^θX)・f(x) dx と定義する
  * 離散型の時と同様に
    * 1: 期待値μ = E\[X] = M'(0)
    * 2: 分散 σ^2 = V\[X] = E\[X^2] - E\[X]^2 = M''(0) - M'(0)^2
* 指数分布(連続型)
  * 確率密度 f(x) = λe^-λx (0 <= x), 0 (x < 0) (λ: 正の定数) で与えられる連続型の確率分布を「指数分布」という
  * この指数分布の期待値μと分散σ^2 は
    * μ = E\[X] = 1/λ
    * σ^2 = V\[X] = 1/λ^2
  * 単位時間あたり平均λ回起こる事象の発生間隔が x 単位時間である確率密度
    * [【大学数学】指数分布(具体例やその意味、ポアソン分布との関係)【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=4Y5otbAwGlc)

### 3: 2 変数の確率分布

#### 3.1: 離散型 2 変数の確率分布

* 離散型 2 変数の確率関数 Pij
  * 2 つの離散型変数 X = xi(i = 1, 2, ..., m), Y = yj(j = 1, 2, ..., n) について (X, Y) = (xi, yj) の時の確率を Pij = P(X = xi, Y = yj) とおき、この Pij を 2 つの確率変数 X, Y の「確率関数」と呼ぶ
  * さらに確率関数を次のように表すこともある
    * PXY(x, y) = Pij (x = xi, y = yj のとき) (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n)
    * PXY(x, y) = 0 (それ以外の x, y のとき)
* 周辺確率分布と分布関数
  * X の周辺確率分布 PX(xi) と分布関数 FX(x) を次のように定義する
    * Pi = PX(xi) = Σ(j=1->n) Pij (i = 1, ..., m)
    * FX(x) = PX(X <= x) = Σ(xi<=x) PX(xi)
  * Y の周辺確率分布 PY(yi) と分布関数 FY(y) を次のように定義する
    * Pi = PY(yj) = Σ(i=1->m) Pij (j = 1, ..., n)
    * FY(y) = PY(Y <= y) = Σ(yj<=y) PY(yj)
* E\[g(X, Y)] の定義
  * E\[g(X, Y)] = Σ(j=1->n)Σ(i=1->m) g(xi, yj)・Pij
* 期待値
  * X の期待値 μX = E\[X] = Σ(i=1->m) xi・PX(xi) = Σ(j=1->n)Σ(i=1->m) xi・Pij
  * Y の期待値 μY = E\[Y] = Σ(j=1->n) yj・PY(yj) = Σ(j=1->n)Σ(i=1->m) yj・Pij
* 分散
  * X の分散 σX^2 = V\[X] = E\[(X - μX)^2] = Σ(i=1->m) (xi - μX)^2・PX(xi) = Σ(j=1->n)Σ(i=1->m) (xi - μX)^2・Pij = E\[X^2] - E\[X]^2
  * Y の分散 σY^2 = V\[Y] = E\[(Y - μY)^2] = Σ(j=1->n) (yj - μY)^2・PY(yj) = Σ(j=1->n)Σ(i=1->m) (yj - μY)^2・Pij = E\[Y^2] - E\[Y]^2
* 共分散
  * X と Y の共分散 σXY = C\[X, Y] = E\[(X - μX)(Y - μY)] = E\[XY] - E\[X]・E\[Y]
* 期待値と共分散の性質
  * E\[aX + bY + c] = a・E\[X] + b・E\[Y] + c
  * V\[aX + bY + c] = a^2・V\[X] + 2ab・C\[X, Y] + b^2・V\[Y]
* 確率変数 X と Y の独立
  * 2 つの離散型の確率変数 X と Y が従う確率分布の確率関数 PXY(x, y) が PXY(x, y) = PX(x)・PY(y) となるとき、この確率変数 X と Y は独立であるという
* X と Y が独立のときの公式
  * 2 つの離散型確率変数 X と Y が独立のとき、以下の公式が成り立つ
    * E\[XY] = E\[X]・E\[Y]
    * σXY = C\[X, Y] = 0
    * V\[aX + bY + c] = a^2・V\[X] + b^2・V\[Y]
* 多変数の和の期待値と分散
  * n 個の独立な離散型の確率変数 X1, X2, ..., Xn について、次の公式が成り立つ(a1, a2, ..., an: 定数)
    * E\[a1X1 + a2X2 + ... + anXn] = a1・E\[X1] + a2・E\[X2] + ... + an・E\[Xn]
    * V\[a1X1 + a2X2 + ... + anXn] = a1^2・V\[X1] + a2^2・V\[X2] + ... + an^2・V\[Xn]

#### 3.2: 連続型 2 変数の確率分布

* 連続型 2 変数の確率分布
  * 連続型の 2 つの確率変数 X, Y について a <= X <= b かつ c <= Y <= d となる確率 P(a <= X <= b, c <= Y <= d) が P(a <= X <= b, c <= Y <= d) = ∫∫fXY(x, y) dxdy (ここで A = {(x, y) | a <= X <= b, c <= Y <= d}) で表される時、fXY(x, y) を確率変数 X, Y の「確率密度」または「確率密度関数」という
* 周辺確率密度と分布関数
  * X の周辺確率密度 fX(x) と分布関数 FX(x) を次のように定義する
    * fX(x) = ∫(-∞->∞) fXY(x, y) dy
    * FX(x) = ∫(-∞->x) fX(t) dt
  * Y の周辺確率密度 fY(y) と分布関数 FY(y) を次のように定義する
    * fY(y) = ∫(-∞->∞) fXY(x, y) dx
    * FY(y) = ∫(-∞->y) fY(t) dt
* E\[g(X, Y)] の定義
  * E\[g(X, Y)] = ∫(-∞->∞) ∫(-∞->∞)  g(xi, yj)・fXY(x, y) dxdy
* 期待値
  * X の期待値 μX = E\[X] = ∫(-∞->∞) x・fX(x) = ∫(-∞->∞) ∫(-∞->∞)  x・fXY(x, y) dxdy
  * Y の期待値 μY = E\[Y] = ∫(-∞->∞) y・fY(y) = ∫(-∞->∞) ∫(-∞->∞)  y・fXY(x, y) dxdy
* 分散
  * X の分散 σX^2 = V\[X] = E\[(X - μX)^2] = ∫(-∞->∞) (x - μX)^2・fXY(x, y) dxdy = E\[X^2] - E\[X]^2
  * Y の分散 σY^2 = V\[Y] = E\[(Y - μY)^2] = ∫(-∞->∞) (y - μY)^2・fXY(x, y) dxdy = E\[Y^2] - E\[Y]^2
* 共分散
  * X と Y の共分散 σXY = C\[X, Y] = E\[(X - μX)(Y - μY)] = ∫(-∞->∞)∫(-∞->∞) (x - μX)(y - μY)・fXY(x, y) dxdy = E\[XY] - E\[X]・E\[Y]
* 期待値と共分散の性質
  * E\[aX + bY + c] = a・E\[X] + b・E\[Y] + c
  * V\[aX + bY + c] = a^2・V\[X] + 2ab・C\[X, Y] + b^2・V\[Y]
* 確率変数 X と Y の独立
  * 2 つの連続型の確率変数 X と Y が従う確率分布の確率密度 fXY(x, y) が fXY(x, y) = fX(x)・fY(y) となるとき、この確率変数 X と Y は独立であるという
* X と Y が独立のときの公式
  * 2 つの連続型確率変数 X と Y が独立のとき、以下の公式が成り立つ
    * E\[XY] = E\[X]・E\[Y]
    * σXY = C\[X, Y] = 0
    * V\[aX + bY + c] = a^2・V\[X] + b^2・V\[Y]
* 多変数の和の期待値と分散
  * n 個の独立な連続型の確率変数 X1, X2, ..., Xn について、次の公式が成り立つ(a1, a2, ..., an: 定数)
    * E\[a1X1 + a2X2 + ... + anXn] = a1・E\[X1] + a2・E\[X2] + ... + an・E\[Xn]
    * V\[a1X1 + a2X2 + ... + anXn] = a1^2・V\[X1] + a2^2・V\[X2] + ... + an^2・V\[Xn]

### 4: ポアソン分布と正規分布

#### 4.1: ポアソン分布(離散型)

* 二項分布 -> ポアソン分布
  * 二項分布(離散型) B(n, p) と表す
    * 確率関数 PB(x) = nCx p^x・q^n-x (x = 0, 1, ..., n)
    * モーメント母関数 MB(θ) = (p・e^θ + q)^n
    * 期待値 EB\[X] = np (= μ)
    * 分散 VB\[X] = npq
  * ここから μ = np(一定), n -> ∞, p -> 0 とする
  * ポアソン分布(離散型) Po(μ) と表す
    * 確率関数 PP(x) = e^-μ・μ^x / x! (x = 0, 1, ...)
    * モーメント母関数 MP(θ) = e^-μ・e^(μ・e^θ)
    * 期待値 EP\[X] = μ
    * 分散 VP\[X] = μ
    * 単位時間あたり平均μ回起こる事象がちょうど k 回起こる確率
      * [【大学数学】ポアソン分布(具体例やその意味、ポアソンの極限定理)【確率統計】](https://www.youtube.com/watch?v=1r_tSjZCNzg)

#### 4.2: 正規分布(連続型)

* e^-(z^2/2) の積分と標準正規分布
  * ∫(-∞->∞) e^-(z^2/2) dz = (2π)^1/2
  * 標準正規分布の確率密度 fs(z) = 1/(2π)^1/2・e^-(z^2/2)
* 標準正規分布は、正規分布の中でも特に期待値 0、分散 1 の確率分布
* 二項分布 -> 正規分布
  * 二項分布(離散型) B(n, p) と表す
    * 確率関数 PB(x) = nCx p^x・q^n-x (x = 0, 1, ..., n)
    * モーメント母関数 MB(θ) = (p・e^θ + q)^n
    * 期待値 EB\[X] = np (= μ)
    * 分散 VB\[X] = npq
  * ここから n >> 0, p(一定), x >> 0 とする
  * 正規分布(連続型) N(μ, σ^2) と表す
    * 確率密度 fN(x) = 1/((2π)^1/2・σ)・e^-((x-μ)^2/(2σ^2)) (x: 連続型変数)
    * モーメント母関数 MN(θ) = e^(μθ + 1/2・σ^2・θ^2)
    * 期待値 EN\[X] = μ
    * 分散 VN\[X] = σ^2
* 確率密度・確率関数とモーメント母関数は 1 対 1
* 標準正規分布
  * 正規分布
    * fN(x) = 1/((2π)^1/2・σ)・e^-((x-μ)^2/(2σ^2))
  * これを z = (x - μ) / σ で標準化する
  * 標準正規分布
    * fs(z) = 1/(2π)^1/2・e^-(z^2/2)
* 誤差関数と余誤差関数の定義
  * 誤差関数の erf(x) は次式で定義される
    * erf(x) = 2/√π・∫(0->x) e^-(u^2) du
  * 余誤差関数の erfc(x) は次式で定義される
    * erfc(x) = 2/√π・∫(x->∞) e^-(u^2) du

#### 4.3: 中心極限定理

* 大数の法則
  * [大数の法則の具体例と証明 | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/lawoflargenumbers)
* 中心極限定理
  * 互いに独立な確率変数 X1, X2, ..., Xn が平均μ、分散σ^2 の同一の確率分布(確率密度)に従う時、X^ = (X1 + X2 + ... + Xn)/n とおく
  * ここでさらに確率変数 Z を Z = (X^ - μ) / (σ/√n) で定義すると Z は n -> ∞ のとき、標準正規分布 N(0, 1) に従う
  * [【確率統計】中心極限定理の気持ち【特別講義】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=CHOLN1tAJWI)
    * 平均μ、分散σ^2 の母集団から無作為に取り出した標本平均 Xn^ は n が十分大きい時、近似的に平均μ、分散σ^2/n の正規分布に従う

### 5: χ^2 分布、t 分布、F 分布

#### 5.1: χ^2 分布

* ガンマ関数の定義とその性質
  * 階乗 n! の n を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある
    * [ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質](https://mathtrain.jp/gamma)
  * ガンマ関数 Γ(p) の定義
    * Γ(p) = ∫(0->∞) x^(p - 1)・e^-x dx (p > 0)
  * ガンマ関数 Γ(p) の性質
    * Γ(p + 1) = pΓ(p)
    * Γ(1) = 1
    * Γ(1/2) = √π
    * n が自然数の時
      * Γ(n/2) = (n/2 - 1)! (n: 偶数)
      * Γ(n/2) = (n/2 - 1)(n/2 - 2)・...・3/2・√x/2 (n: 3 以上の奇数)
* ベータ関数の定義とその性質
  * ベータ関数 B(p, q) の定義
    * B(p, q) = ∫(0->1) x^(p-1)・(1 - x)^(q-1) dx
  * ベータ関数 B(p, q) の性質
    * B(p, q) = Γ(p)Γ(q) / Γ(p + q)
* χ^2 分布(連続型)
  * 互いに独立な n 個の確率変数 Z1, Z2, ..., Zn が標準正規分布に従う時、確率変数 X = Z1^2 + Z2^2 + ... + Zn^2 は自由度 n のχ^2 分布に従う
  * 自由度 n のχ^2 分布の確率密度
    * cn(x) = 1 / 2^(n/2)Γ(n/2)・x^(n/2 - 1)・e^-(x/2) (x > 0)
    * cn(x) = 0 (x <= 0)
  * モーメント母関数 Mc(θ) = (1 - 2θ)^-(n/2) (ただし θ < 1/2)
  * 期待値と分散
    * Ec\[X] = n
    * Vc\[X] = 2n

#### 5.2: t 分布と F 分布

* t 分布(連続型)
  * t 分布は「スチューデント分布」と呼ばれることもある
  * 2 つの独立な変数 Y と Z があり、Y は標準正規分布 N(0, 1) に、Z は自由度 n の χ^2 分布に従うものとする。このとき、確率変数 X を X = Y/√(Z/n) とおくと、X は自由度 n の t 分布に従う
  * 自由度 n の t 分布の確率密度 tn(x) = 1 / (√n・B(n/2, 1/2))・(x^2 / n + 1)^-(n+1)/2
* t 分布の自由度が 1 の時、t1(x) = 1 / π(x^2 + 1) となり、これを「コーシー分布」と呼ぶ
* F 分布(連続型)
  * 「フィッシャー分布」とも呼ばれる
  * 2 つの独立な変数 Y と Z があり、Y は自由度 m の、そして Z は自由度 n の χ^2 分布に従うものとする。このとき、確率変数 X を X = Y/m / Z/n とおくと、X は自由度 (m, n) の F 分布に従う
  * 自由度 (m, n) の F 分布の確率密度 fm,n(x) = m^(m/2)・n^(n/2) / B(m/2, n/2)・x^(m/2 - 1) / (mx + n)^(m+n/2)

### 6: データの整理

#### 6.1: 1 変数データの整理

* 記述統計
  * 母集団そのものを直接調べる
* 推測統計
  * 母集団から抽出した標本により、母集団を推測する
* 母集団を代表する数値
  * 平均(母平均)
  * メディアン(中央値)
    * n が奇数の時、中央の値
    * n が偶数の時、2 つの中央値の相加平均
  * モード(最頻値)
    * 度数が最も大きい階級の真ん中の値
* 母分散と標準偏差

#### 6.2: 2 変数データの整理

* 共分散・相関係数(p151)
* 回帰直線(p155)
  * n 個の 2 変数データ(xi, yi) (i = 1, 2, ..., n) がある。このとき y の x への回帰直線は次式で求められる
    * y = ax + b
    * ただし a = σxy / (σx)^2, b = y^ - ax^

### 7: 推定

#### 7.1: 点推定

* 母数(population parameter)
  * 母集団の分布を特徴づける定数。平均μや分散σ^2 など
* 母数の値を推定することを「点推定」といい、母数の値の範囲を推定することを「区間推定」という
* 点推定
  * 母集団の従う確率分布の母数θの値を、標本 X1, X2, ..., Xn により推定したものを「推定量」θ\~ とおくと、θ\~ は次のように表せる
  * θ\~ = F(X1, X2, ..., Xn)
* 不遍推定量(unbiased estimator)
  * 母数θ(定数)の推定量θ\~ が E\[θ\~] = θ となるとき、θ\~ をθの不偏推定量という
* μとσ^2 の不偏推定量(p164)
  * 母平均μと母分散σ^2 をもつ母集団から任意に抽出した標本 X1, X2, ..., Xn に対して
  * 1: 母平均μの不偏推定量
    * X^ = 1/n・Σ(i=1->n)Xi = 1/n・(X1 + X2 + ... + Xn) であり、これを「標本平均(sample mean)」という
  * 2: 母分散σ^2 の不偏推定量
    * S^2 = 1/(n-1)・Σ(i=1->n) (Xi - X^)^2 = 1/(n-1)・{(X1 - X^)^2 + (X2 - X^)^2 + ... + (Xn - X^)^2} であり、これを「標本分散(sample variance)」または「不偏分散」という
* [【大学数学】推定・検定入門②(点推定)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=EVyqa5FwxGc)
* 最尤法(maximum likelihood method)
  * [最尤法partⅠ～二項分布での最尤法～　例題付き！【数学　統計学】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=IB9WiSRUdDU)
  * [最尤推定量とは？初めての人にもわかる解説](https://ai-trend.jp/basic-study/estimator/maximum-likelihood-estimation/)
* 最尤推定量(母集団は正規分布に従うものとした)
  * 1: 母平均μの最尤推定量推定量
    * X^ = 1/n・Σ(i=1->n)Xi
    * 標本平均と同じ
  * 2: 母分散σ^2 の不偏推定量
    * S^2 = 1/n・Σ(i=1->n) (Xi - X^)^2
    * 標本分散と異なる

#### 7.2: 区間推定

* 区間推定
  * 母集団の未知の母数θに対して P(θ1<=θ<=θ2) = 1 - α (α: 有意水準) の時、θ1<=θ<=θ2 を「信頼係数 1 - α の信頼区間」という
  * または「(1 - α)×100% 信頼区間」という
* σ^2 が既知の時の母平均μの区間推定(p173)
  * 正規分布 N(μ,σ^2) (σ^2 は既知) に従う母集団から無作為に抽出した標本 X1, X2, ... , Xn を使って、新たな確率変数 Z を Z = (X^ - μ) / (σ^2/n)^1/2 と定義すると Z は標準正規分布 N(0, 1) に従う
  * [【大学数学】推定・検定入門③(区間推定：分散が既知な場合)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=n-CNHHCaCi0)
* σ^2 が未知の時の母平均μの区間推定(p175)
  * 正規分布 N(μ,σ^2) (σ^2 は未知) に従う母集団から無作為に抽出した標本 X1, X2, ... , Xn を使って、新たな確率変数 Z を Z = (X^ - μ) / (S^2/n)^1/2 と定義すると U は自由度 n - 1 の t 分布に従う
    * S は不偏分散
    * [【大学数学】推定・検定入門④(区間推定：分散が未知な場合)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=6YfeVshwfrY)
  * 参考: 母集団の分布が未知の場合
    * [【大学数学】推定・検定入門⑤(区間推定：母集団分布が未知な場合)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=qeD0gRs1yc4)
  * 母比率
    * 例えば、ある県の全世帯の自動車保有率や、ある国の全有権者の X 政党への支持率のように、ある性質を持つものの全体に対する割合を、母集団の場合は「母比率」と呼び p で、大きさ n の標本の場合は「標本比率」と呼び p^ で表すことにする
    * 参考
      * ベルヌーイ分布
        * [ベルヌーイ分布と二項分布](https://blog.foresta.me/posts/stats_binomial_and_bernoulli_distribution/)
      * [【大学数学】推定・検定入門⑥(母比率の推定)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=Xhrx5scFzC8)
* 母分散σ^2 の区間推定
  * 正規分布 N(μ,σ^2) (μは未知) に従う母集団から無作為に抽出した標本 X1, X2, ... , Xn を使って、新たな確率変数 V を V = Σ(i=1->n) (Xi-X^/σ)^2 と定義すると、V は自由度 n - 1 のχ^2 分布に従う
  * [【大学数学】推定・検定入門⑦(母分散の推定)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=NGNnr35Swmc\&t=11s)

### 8: 検定

#### 8.1: 母平均と母分散の検定

* 仮説の検定
  * 母集団の母数θについて「仮説 H0: θ=θ0」を立てる
  * 母集団から無作為に抽出した標本 X1, X2, ..., Xn をもとに、この仮設を棄却するかどうかを統計的に判断することを「検定」と呼ぶ

#### 8.2: 母平均の差の検定

* 母分散が既知の時の母平均の差の検定
  * 2 つの正規分布 N(μx,σx^2), N(μy,σy^2) (σx^2 と σy^2 は共に既知) に従う 2 つの母集団からそれぞれ無作為に抽出した大きさ m, n の 2 組の標本 X1, X2, ... , Xm と Y1, Y2, ... , Yn をもとに仮説 H0: μx = μy を検定できる
  * この場合、検定統計量として T = (X^ - Y^) / (σx^2/m + σy^2/n)^1/2 を用いると、T は標準正規分布 N(0, 1) に従う
* 母分散が未知の時の母平均の差の検定
  * 2 つの正規分布 N(μx,σx^2), N(μy,σy^2) (σx^2 と σy^2 は共に未知。ただしσx^2 = σy^2 = σ^2 とする) に従う 2 つの母集団からそれぞれ無作為に抽出した大きさ m, n の 2 組の標本 X1, X2, ... , Xm と Y1, Y2, ... , Yn をもとに仮説 H0: μx = μy を検定できる
  * この場合、検定統計量として T = (X^ - Y^) / {(1/m + 1/n)・Sxy^2}^1/2 を用いると、T は自由度 m + n - 2 の t 分布に従う
    * ただし、Sxy^2 = 1/(m + n - 2)・{Σ(i=1->m) (Xi - X^)^2 + Σ(i=1->n) (Yi - Y^)^2}
  * [【大学数学】推定・検定入門⑨(ウェルチの検定)/全9講【確率統計】 - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=Det2IBRXajc)
    * 等分散を仮定しない場合の説明もあり(ウェルチの検定)

#### 8.3: 母分散の比の検定

* 2 つの正規分布 N(μx,σx^2), N(μy,σy^2) (μx,μy は共に未知) に従う 2 つの母集団からそれぞれ無作為に抽出した大きさ m, n の 2 組の標本 X1, X2, ... , Xm と Y1, Y2, ... , Yn をもとに仮説 H0: σx^2 = σy^2 を検定できる
  * この場合、検定統計量として T = Sx^2 / Sy^2 を用いると、T は自由度 (m - 1, n - 1) の F 分布に従う
    * ただし、Sx^2 = 1/(m - 1)・Σ(i=1->m) (Xi - X^)^2、Sy^2 = 1/(n - 1)・Σ(i=1->n) (Yi - Y^)^2